Herzlich willkommen zur heutigen Übung. Wir beschäftigen uns heute mit dem

Dreikörztensor. Was gibt der an? Letztendlich ist das eine Beschreibung der Massenverteilung

eines Körpers, ausgehend von irgendeinem relativen Koordinatensystem, was wir im Körper

fest definieren. Dementsprechend können wir uns das Ganze so vorstellen, dass wir irgendeinen

Körper haben. Und da drin haben wir jetzt unser Koordinatensystem. Und jetzt wollen wir irgendein

Massenelement hier in diesem Körper, also irgendein fitisimales Massenelement im Körper,

beschreiben. Und das beschreiben wir durch einen Vektor eta im Einser-System hier. Und die Position

können wir dementsprechend hier in unsere drei Komponenten teilen. Das heißt, wir haben hier

eine z-Komponente, eine y-Komponente und eine x-Komponente von jedem Massenelement im ganzen

Körper. Das heißt, die Position, die wir da definieren, ist unser eta in den lokalen Koordinaten

im Körper festen, x, y und z einfach nur. Und über die Impulsänderung können wir das Ganze

berechnen und sagen, dass unser Massentreiheitsmoment hier minus das Integral über den Körper, also über

unsere Kartoffel hier ist. Und das ist das Produkt von zwei schief symmetrischen Matrizen, die jede

Position in diesem Körper beschreiben. Über hier die Masse als Massenverteilung im Körper. Wenn

wir das jetzt aufstellen, hier über den Integral über den Körper, können wir unsere schief

symmetrische Matrix daraus bilden.

Und wenn wir jetzt hier die beiden Matrizen multiplizieren, stehen eben die Einträge von

dem Trägheitstensor da. Letztendlich von letzter Woche kommt uns das Produkt von zwei schief

symmetrischen Matrizen bekannt vor. Es ergibt sich nämlich eine symmetrische Matrix.

Okay, das dazu, was jetzt letztendlich der Trägheitstensor ist und aussagt. In der Aufgabe

21 geht es um die Eigenschaften davon. Insgesamt gibt es zwei wichtige Eigenschaften, die dementsprechend

auch die physikalische Bedeutung abbilden. Letztendlich geht es in der Aufgabe davon zu

zeigen, dass wir Symmetrie haben. Das heißt, dass das Teter gleich Teter transponiert ist.

Wenn wir uns Teter anschauen, können wir den Stadt, dem Produkt von eben diesen schief

symmetrischen Matrizen mit Hilfe von der Grassmann Identität schreiben und dadurch sehen wir

dann vielleicht, wie wir denn wirklich die Symmetrie beweisen können.

Wenn wir hier eben jetzt die transponierte, von eben der mit der Grassmann Identität

umgeformten Teil haben, dann können wir den jetzt einfach anteilweise transponieren, um

das Ergebnis zu bekommen. Wenn wir uns hier den ersten Teil anschauen, naja, die euklidische

Norm, ja, Skalader, da passiert nichts. Einheitsmatrix transponiert, ja, das ist auch sehr schön,

das ist gleich die Einheitsmatrix. Das heißt, es bleibt nur hier dieser hintere Teil, den

wir uns wirklich genau überlegen müssen, übrig.

Letztendlich können wir hier die Symmetrie von der Einheitsmatrix als Diagonalmatrix

direkt ansetzen und wenn wir uns jetzt den Teil hier überlegen, müssen wir nur zeigen,

dass das transponierte, dyadische Produkt gleich dem dyadischen Produkt entspricht.

Und wenn wir das jetzt uns anschauen, in Komponenten, können wir uns das, den Komponenten, mit eben

unserer Basis anschauen und jetzt im Vergleich dazu das transponierte davon. Komponenten

bleiben gleich und unsere Basis ist jetzt transponiert, das heißt, wir vertauschen

die beiden Einträge. Und wenn wir uns die beiden Einausdrücke jetzt

anschauen, bekommen wir das gleiche durch simple Umbenennung, das heißt, aus i wird

j und aus j wird i. Letztendlich, nachdem wir unsere Komponenten einfach in beliebiger

Reihenfolge schreiben können, und nur die Basis fest sein muss. Und dementsprechend

wissen wir, dass das hier gleich dem nicht transponierten, dyadischen Produkt von unserem

relativem Positionsvektor von jedem Massenelement ist.

Welche physikalische Eigenschaft oder welche mathematische folgt erstmal, die wir dann

interpretieren können? Ja, wir wissen, dass das eine quadratische

Matrix ist, die 3 mal 3 Einträge im Raum allgemein hat. Und wenn wir jetzt eine symmetrische

Matrix uns anschauen, dann wissen wir, dass die schon mal reelle Eigenwerte hat.

Das heißt, wir haben keine komplexen Einträge in unserem Hauptsystem, im Hauptachsensystem.

Die zweite Eigenschaft, die wir beweisen sollen, ist positive Definite.